Khoảng cách Euclid giữa hai điểm p và q là chiều dài đoạn thẳng p q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}} . Trong hệ tọa độ Descartes, nếu p = (p1, p2,..., pn) và q = (q1, q2,..., qn) là hai điểm trong không gian Euclid n chiều, thì khoảng cách từ p đến q bằng[2] :

d ( p , q ) = ( q 1 − p 1 ) 2 + ( q 2 − p 2 ) 2 + ⋯ + ( q n − p n ) 2 = ∑ i = 1 n ( q i − p i ) 2 . {\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(q_{n}-p_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(q_{i}-p_{i})^{2}}}.}

Dạng chuẩn Euclid là khoảng cách của một điểm đến điểm gốc trong không gian Euclid:

‖ p ‖ = p 1 2 + p 2 2 + ⋯ + p n 2 = p ⋅ p {\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}

trong đó phương trình sau cùng là tích vô hướng. Đây là chiều dài của p, khi ta xem nó là một Véc-tơ Euclid có gốc nằm ở gốc tọa độ. Khoảng cách khi đó bằng ‖ p − q ‖ = ( p − q ) ⋅ ( p − q ) = ‖ p ‖ 2 + ‖ q ‖ 2 − 2 p ⋅ q . {\displaystyle \|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|={\sqrt {(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\cdot (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}={\sqrt {\|\mathbf {p} \|^{2}+\|\mathbf {q} \|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.}